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复数的模怎么求

2025-07-11 11:33:58

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2025-07-11 11:33:58

复数的模怎么求】在数学中,复数是一个包含实部和虚部的数,形式为 $ a + bi $,其中 $ a $ 和 $ b $ 是实数,$ i $ 是虚数单位(即 $ i^2 = -1 $)。复数的“模”是衡量其大小的一个重要概念,常用于几何、物理和工程等领域。

本文将总结复数的模的定义及计算方法,并通过表格形式进行清晰展示。

一、复数的模的定义

复数 $ z = a + bi $ 的模(或绝对值)是指该复数在复平面上与原点之间的距离。它表示的是复数的“长度”,记作 $ z $ 或 $ a + bi $。

二、复数的模的计算公式

根据复数的代数形式 $ z = a + bi $,其模的计算公式为:

$$

z = \sqrt{a^2 + b^2}

$$

这个公式来源于勾股定理,因为复数可以看作复平面上的点 $ (a, b) $,其到原点的距离就是 $ \sqrt{a^2 + b^2} $。

三、复数模的性质

1. 非负性:$ z \geq 0 $,且 $ z = 0 $ 当且仅当 $ z = 0 $。

2. 共轭对称性:$ z = \overline{z} $,其中 $ \overline{z} $ 是 $ z $ 的共轭复数。

3. 乘法性质:$ z_1 \cdot z_2 = z_1 \cdot z_2 $。

4. 除法性质:$ \left\frac{z_1}{z_2}\right = \frac{z_1}{z_2} $(当 $ z_2 \neq 0 $)。

四、示例计算

以下是一些常见复数的模的计算过程:

复数 实部 $ a $ 虚部 $ b $ 模 $ z $
$ 3 + 4i $ 3 4 $ \sqrt{3^2 + 4^2} = 5 $
$ -2 + 6i $ -2 6 $ \sqrt{(-2)^2 + 6^2} = \sqrt{4 + 36} = \sqrt{40} = 2\sqrt{10} $
$ 0 + 7i $ 0 7 $ \sqrt{0^2 + 7^2} = 7 $
$ -5 - 12i $ -5 -12 $ \sqrt{(-5)^2 + (-12)^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13 $

五、总结

复数的模是复数在复平面上的“长度”,可以通过公式 $ z = \sqrt{a^2 + b^2} $ 进行计算。掌握这一概念有助于理解复数的几何意义以及在实际问题中的应用。通过上述表格,我们可以更直观地看到不同复数的模值,便于快速计算和验证。

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