【材料力学基本公式】在工程实践中，材料力学是研究构件在外力作用下其内部应力、应变和变形规律的学科。掌握材料力学的基本公式对于分析结构强度、刚度和稳定性具有重要意义。以下是对材料力学中常用公式的总结，并以表格形式进行展示。
一、基本概念与公式
1. 应力（Stress）
应力是单位面积上的内力，分为正应力（σ）和剪应力（τ）。
公式：
$$
\sigma = \frac{F}{A}, \quad \tau = \frac{V}{A}
$$
其中，$ F $ 为轴向力，$ V $ 为剪切力，$ A $ 为截面面积。
2. 应变（Strain）
应变是物体在受力后的形变程度，分为线应变（ε）和剪应变（γ）。
公式：
$$
\varepsilon = \frac{\Delta L}{L}, \quad \gamma = \frac{\Delta x}{h}
$$
其中，$ \Delta L $ 为长度变化，$ L $ 为原长，$ \Delta x $ 为剪切位移，$ h $ 为高度。
3. 胡克定律（Hooke's Law）
在弹性范围内，应力与应变成正比。
公式：
$$
\sigma = E \cdot \varepsilon, \quad \tau = G \cdot \gamma
$$
其中，$ E $ 为弹性模量，$ G $ 为剪切模量。
4. 弯曲应力（Bending Stress）
梁在弯矩作用下的最大弯曲应力发生在截面最远点。
公式：
$$
\sigma_{\text{max}} = \frac{M \cdot y}{I}
$$
其中，$ M $ 为弯矩，$ y $ 为截面到中性轴的距离，$ I $ 为惯性矩。
5. 扭转应力（Torsional Stress）
圆轴在扭矩作用下的最大剪应力出现在外表面。
公式：
$$
\tau_{\text{max}} = \frac{T \cdot r}{J}
$$
其中，$ T $ 为扭矩，$ r $ 为半径，$ J $ 为极惯性矩。
6. 梁的挠度（Deflection of Beams）
挠度公式因梁的支撑方式不同而异，常见简支梁在集中载荷下的挠度为：
$$
\delta = \frac{F \cdot L^3}{48EI}
$$
其中，$ F $ 为集中力，$ L $ 为跨度，$ E $ 为弹性模量，$ I $ 为惯性矩。
7. 压杆稳定（Euler Buckling Formula）
理想细长压杆的临界载荷为：
$$
P_{\text{cr}} = \frac{\pi^2 E I}{(KL)^2}
$$
其中，$ K $ 为长度系数，$ L $ 为有效长度。
二、材料力学常用公式汇总表
| 公式名称 | 公式表达式 | 单位 | 说明 |
| 正应力 | $\sigma = \frac{F}{A}$ | MPa 或 Pa | 轴向拉伸或压缩时的应力 |
| 剪应力 | $\tau = \frac{V}{A}$ | MPa 或 Pa | 剪切作用下的应力 |
| 线应变 | $\varepsilon = \frac{\Delta L}{L}$ | 无量纲 | 长度变化率 |
| 剪应变 | $\gamma = \frac{\Delta x}{h}$ | 无量纲 | 剪切形变率 |
| 胡克定律（拉伸） | $\sigma = E \cdot \varepsilon$ | MPa 或 Pa | 弹性范围内的应力-应变关系 |
| 胡克定律（剪切） | $\tau = G \cdot \gamma$ | MPa 或 Pa | 弹性范围内的剪切应力-应变关系 |
| 弯曲应力 | $\sigma_{\text{max}} = \frac{M \cdot y}{I}$ | MPa 或 Pa | 弯曲时的最大正应力 |
| 扭转应力 | $\tau_{\text{max}} = \frac{T \cdot r}{J}$ | MPa 或 Pa | 扭转时的最大剪应力 |
| 挠度（简支梁） | $\delta = \frac{F \cdot L^3}{48EI}$ | m 或 mm | 集中载荷下的最大挠度 |
| 压杆临界载荷 | $P_{\text{cr}} = \frac{\pi^2 E I}{(KL)^2}$ | N 或 kN | 理想压杆的失稳临界载荷 |
三、结语
材料力学的基本公式是结构设计和工程分析的重要工具。理解并熟练运用这些公式，有助于提高对构件受力状态的判断能力，确保结构的安全性和经济性。在实际应用中，还需结合具体工况和材料特性进行综合分析。
