【材料力学公式】材料力学是研究材料在各种外力作用下产生的应力、应变以及变形规律的学科，是工程结构设计和分析的重要基础。掌握材料力学中的关键公式对于理解构件的承载能力、强度、刚度和稳定性具有重要意义。以下是对材料力学中常见公式的总结，便于查阅与应用。
一、基本概念与公式
| 公式名称 | 公式表达式 | 说明 |
| 应力（正应力） | $\sigma = \frac{F}{A}$ | $F$为作用力，$A$为受力面积 |
| 应变（线应变） | $\varepsilon = \frac{\Delta L}{L_0}$ | $\Delta L$为长度变化量，$L_0$为原始长度 |
| 胡克定律 | $\sigma = E \varepsilon$ | $E$为弹性模量 |
| 剪切应力 | $\tau = \frac{V}{A}$ | $V$为剪力，$A$为剪切面积 |
| 剪切应变 | $\gamma = \frac{\Delta x}{h}$ | $\Delta x$为位移，$h$为高度 |
| 剪切胡克定律 | $\tau = G \gamma$ | $G$为剪切模量 |
二、杆件轴向拉压
| 公式名称 | 公式表达式 | 说明 |
| 轴向伸长 | $\Delta L = \frac{FL}{EA}$ | $F$为轴力，$L$为杆长，$E$为弹性模量 |
| 横向应变 | $\varepsilon' = -\mu \varepsilon$ | $\mu$为泊松比 |
| 应力集中系数 | $\sigma_{max} = K_t \sigma_{nom}$ | $K_t$为应力集中系数 |
三、扭转
| 公式名称 | 公式表达式 | 说明 |
| 扭矩与剪应力 | $\tau = \frac{T r}{J}$ | $T$为扭矩，$r$为半径，$J$为极惯性矩 |
| 扭转角 | $\theta = \frac{T L}{G J}$ | $L$为长度，$G$为剪切模量 |
| 极惯性矩（圆截面） | $J = \frac{\pi d^4}{32}$ | $d$为直径 |
四、弯曲
| 公式名称 | 公式表达式 | 说明 |
| 弯曲正应力 | $\sigma = \frac{M y}{I}$ | $M$为弯矩，$y$为到中性轴的距离，$I$为惯性矩 |
| 惯性矩（矩形截面） | $I = \frac{b h^3}{12}$ | $b$为宽度，$h$为高度 |
| 挠度（简支梁） | $v = \frac{F L^3}{48 E I}$ | $F$为集中力，$L$为跨度 |
| 曲率 | $\kappa = \frac{M}{E I}$ | $M$为弯矩 |
五、组合变形
| 公式名称 | 公式表达式 | 说明 |
| 组合应力 | $\sigma_{total} = \sigma_{axial} + \sigma_{bending}$ | 轴向与弯曲应力叠加 |
| 最大主应力 | $\sigma_{max} = \frac{\sigma_x + \sigma_y}{2} + \sqrt{\left( \frac{\sigma_x - \sigma_y}{2} \right)^2 + \tau_{xy}^2}$ | 用于平面应力状态 |
| 第三强度理论 | $\sigma_{eq} = \sqrt{\sigma_1^2 - \sigma_1 \sigma_2 + \sigma_2^2}$ | 用于判断塑性材料失效 |
六、稳定性
| 公式名称 | 公式表达式 | 说明 |
| 欧拉临界载荷 | $P_{cr} = \frac{\pi^2 E I}{(KL)^2}$ | $K$为长度系数，$L$为杆长 |
| 临界应力 | $\sigma_{cr} = \frac{\pi^2 E}{(KL/r)^2}$ | $r$为回转半径 |
结语
材料力学公式是工程实践中不可或缺的工具，正确理解和应用这些公式有助于提高结构设计的安全性和经济性。建议结合实际问题进行推导与验证，以加深对公式的理解与运用能力。
