【正弦和余弦的和与差公式】在三角函数的学习中，正弦和余弦的和与差公式是重要的基础内容之一。这些公式不仅在数学推导中广泛应用，还在物理、工程等领域中发挥着重要作用。通过掌握这些公式，可以更灵活地处理角度的加减运算问题。
以下是正弦和余弦的和与差公式的总结：
一、正弦的和与差公式
1. 正弦的和公式
$$
\sin(A + B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B
$$
2. 正弦的差公式
$$
\sin(A - B) = \sin A \cos B - \cos A \sin B
$$
二、余弦的和与差公式
1. 余弦的和公式
$$
\cos(A + B) = \cos A \cos B - \sin A \sin B
$$
2. 余弦的差公式
$$
\cos(A - B) = \cos A \cos B + \sin A \sin B
$$
三、公式对比表格
| 公式名称 | 公式表达式 | 特点说明 |
| 正弦的和公式 | $\sin(A + B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B$ | 包含两个乘积项，符号为“+” |
| 正弦的差公式 | $\sin(A - B) = \sin A \cos B - \cos A \sin B$ | 与和公式类似，但第二个乘积项为“-” |
| 余弦的和公式 | $\cos(A + B) = \cos A \cos B - \sin A \sin B$ | 两个乘积项均为“cos”和“sin”，符号为“-” |
| 余弦的差公式 | $\cos(A - B) = \cos A \cos B + \sin A \sin B$ | 与和公式类似，但第二个乘积项为“+” |
四、应用示例
例如，若已知 $\sin 30^\circ = \frac{1}{2}$，$\cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$，$\sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$，$\cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$，则：
- $\sin(30^\circ + 45^\circ) = \sin 75^\circ = \sin 30^\circ \cos 45^\circ + \cos 30^\circ \sin 45^\circ = \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{2}(1 + \sqrt{3})}{4}$
这类计算在实际问题中非常常见，尤其是在涉及角度叠加或分解的问题中。
五、总结
正弦和余弦的和与差公式是三角函数中的核心内容，它们帮助我们快速计算复杂角度的三角函数值。掌握这些公式不仅有助于解题效率的提升，还能加深对三角函数性质的理解。通过反复练习和实际应用，可以更加熟练地运用这些公式解决各类问题。
