【等比数列的性质】等比数列是数学中一种重要的数列形式，其特点是每一项与前一项的比值是一个常数，称为公比。掌握等比数列的性质有助于我们更高效地分析和解决相关问题。以下是对等比数列主要性质的总结。
一、基本定义
设一个数列为 $ a_1, a_2, a_3, \ldots, a_n $，若满足：
$$
\frac{a_{n+1}}{a_n} = r \quad (r \neq 0)
$$
则该数列为等比数列，其中 $ r $ 称为公比。
二、等比数列的主要性质
| 性质编号 | 性质描述 | ||||
| 1 | 若 $ a_1 $ 为首项，$ r $ 为公比，则第 $ n $ 项为：$ a_n = a_1 \cdot r^{n-1} $ | ||||
| 2 | 等比数列的任意两项之比等于它们的指数差的公比幂次：$ \frac{a_m}{a_n} = r^{m-n} $ | ||||
| 3 | 若三个数 $ a, b, c $ 成等比数列，则有 $ b^2 = ac $（即中间项的平方等于两边乘积） | ||||
| 4 | 若 $ a_1, a_2, a_3, \ldots $ 是等比数列，且 $ r > 1 $，则数列递增；若 $ 0 < r < 1 $，则数列递减 | ||||
| 5 | 当 $ r = 1 $ 时，数列为常数列，所有项相等 | ||||
| 6 | 当 $ r = -1 $ 时，数列呈现正负交替现象 | ||||
| 7 | 等比数列的前 $ n $ 项和公式为：$ S_n = a_1 \cdot \frac{1 - r^n}{1 - r} $（当 $ r \neq 1 $） | ||||
| 8 | 若 $ r > 1 $，则当 $ n \to \infty $ 时，若 $ | r | > 1 $，数列发散；若 $ | r | < 1 $，则趋于零 |
三、应用举例
例如，已知等比数列的首项为 $ 2 $，公比为 $ 3 $，求第 5 项及前 5 项和：
- 第 5 项：$ a_5 = 2 \cdot 3^{5-1} = 2 \cdot 81 = 162 $
- 前 5 项和：$ S_5 = 2 \cdot \frac{1 - 3^5}{1 - 3} = 2 \cdot \frac{1 - 243}{-2} = 2 \cdot 121 = 242 $
四、总结
等比数列因其规律性强、结构清晰，在数学、物理、经济等领域有广泛应用。理解其性质不仅有助于解题，还能提升对数列变化趋势的直观认识。通过掌握上述基本性质，可以更灵活地处理与等比数列相关的实际问题。
