在概率论与数理统计中，“分布函数”是一个基础而重要的概念，它用于描述随机变量的概率特性。简单来说，分布函数是指随机变量小于或等于某个特定值的概率累积过程。

具体而言，对于一个随机变量 \( X \)，其分布函数通常记为 \( F(x) \)，定义为：

\[ F(x) = P(X \leq x) \]

其中，\( P(X \leq x) \) 表示随机变量 \( X \) 的取值不大于 \( x \) 的概率。从数学上看，分布函数具有以下性质：

1. 单调性：分布函数 \( F(x) \) 是非减函数，即当 \( x_1 < x_2 \) 时，有 \( F(x_1) \leq F(x_2) \)。

2. 右连续性：分布函数在任意点 \( x \) 处是右连续的，即满足 \( \lim_{x_n \to x^+} F(x_n) = F(x) \)。

3. 边界条件：当 \( x \to -\infty \) 时，\( F(x) \to 0 \)；当 \( x \to +\infty \) 时，\( F(x) \to 1 \)。

分布函数可以用来刻画离散型随机变量和连续型随机变量的概率特性。例如，在离散型随机变量的情况下，分布函数是由一系列跳跃点构成的分段常值函数；而在连续型随机变量的情况下，则可以通过积分得到概率密度函数（PDF），二者互为导数关系。

此外，分布函数的应用十分广泛，不仅限于理论研究，还深入到实际问题中，如金融风险评估、信号处理以及机器学习等领域。因此，理解并掌握分布函数的概念及其性质，对于进一步学习概率统计及相关学科至关重要。

总结来说，分布函数是一种全面反映随机变量概率特性的工具，它通过累积概率的方式揭示了随机现象的本质规律。