在几何学中，正多面体是一种非常特殊的三维形状，其所有面都是全等的正多边形，并且每个顶点周围的角都相等。正多面体也被称为柏拉图立体，因为它们在古希腊哲学家柏拉图的著作中占有重要地位。

要证明正多面体只有五种，我们需要从几个基本条件出发：

1. 每个面是正多边形：这意味着每个面必须是一个全等的正多边形。

2. 每个顶点周围有相同数量的面：这确保了正多面体的对称性。

3. 欧拉公式：对于任何凸多面体，都有 V - E + F = 2，其中 V 是顶点数，E 是边数，F 是面数。

我们可以通过以下步骤来证明只有五种正多面体：

第一步：确定可能的正多边形面

正多边形可以是三角形、四边形、五边形等。然而，由于每个顶点周围的角必须小于360度，我们可以限制可能的正多边形类型。

- 三角形：每个顶点至少需要三个三角形才能满足角度限制。

- 四边形：每个顶点至少需要三个四边形。

- 五边形：每个顶点至少需要三个五边形。

- 六边形及以上：无法形成一个封闭的立体图形，因为它们的角度和会超过360度。

第二步：计算可能的组合

接下来，我们需要计算哪些组合能够满足欧拉公式和角度限制。

情况一：正四面体

- 面：4个正三角形

- 顶点：每个顶点有3个三角形

- 检查：V - E + F = 2 成立

情况二：正六面体（立方体）

- 面：6个正方形

- 顶点：每个顶点有3个正方形

- 检查：V - E + F = 2 成立

情况三：正八面体

- 面：8个正三角形

- 顶点：每个顶点有4个三角形

- 检查：V - E + F = 2 成立

情况四：正十二面体

- 面：12个正五边形

- 顶点：每个顶点有3个五边形

- 检查：V - E + F = 2 成立

情况五：正二十面体

- 面：20个正三角形

- 顶点：每个顶点有5个三角形

- 检查：V - E + F = 2 成立

第三步：验证其他可能性

通过上述分析，我们可以看到，只有以上五种组合能够满足所有条件。尝试其他组合（如正六边形或更多边形）将导致角度和超过360度，从而无法形成一个封闭的立体图形。

因此，我们得出结论：正多面体只有五种，分别是正四面体、正六面体（立方体）、正八面体、正十二面体和正二十面体。

这个证明不仅展示了数学的严谨性，也揭示了自然界中对称性和秩序的美妙之处。