首先，我们考察函数f(x)的连续性与可导性。由于这是一个多项式函数，它在整个实数范围内都是连续且可导的。因此，在闭区间[1,3]上，根据介值定理，只要能够找到两个点使得f(x)在这些点上的函数值异号，则可以确定至少存在一个根位于这两个点之间。
接下来计算端点处的函数值：
f(1) = 1³ - 31² = 1 - 3 = -2 < 0,
f(3) = 3³ - 33² = 27 - 27 = 0.
从以上计算可以看出，f(1)<0而f(3)=0，这意味着不仅存在一个根位于(1,3)内部，而且x=3本身就是这个方程的一个解。
为了进一步研究根的情况，我们可以求导以了解函数的变化趋势：
f'(x) = 3x² - 6x.
令f'(x) = 0，得到驻点x=0和x=2。注意到只有x=2属于我们的讨论区间[1,3]。因此，我们需要检查x=2处的二阶导数f''(x)来判断此处是极大值还是极小值：
f''(x) = 6x - 6.
当x=2时，f''(2) = 62 - 6 = 6 > 0，表明x=2处为局部最小值。结合之前的结果，我们知道在这个区间内只有一个零点，并且这个零点就是x=3。
综上所述，函数f(x) = x³ - 3x²在区间[1,3]内的唯一实数根为x=3。
