【三角变换所有公式大全】在数学学习中，三角函数及其变换是重要的基础知识之一，广泛应用于几何、物理、工程等领域。为了帮助学习者更好地掌握和应用这些公式，本文将系统地总结常见的三角变换公式，并以表格形式清晰展示。
一、基本三角函数定义
| 名称 | 公式 | 说明 |
| 正弦 | $\sin\theta = \frac{\text{对边}}{\text{斜边}}$ | 直角三角形中，对边与斜边的比值 |
| 余弦 | $\cos\theta = \frac{\text{邻边}}{\text{斜边}}$ | 直角三角形中，邻边与斜边的比值 |
| 正切 | $\tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta} = \frac{\text{对边}}{\text{邻边}}$ | 对边与邻边的比值 |
二、同角三角函数关系
| 公式 | 说明 |
| $\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$ | 基本恒等式 |
| $1 + \tan^2\theta = \sec^2\theta$ | 与正切和余割的关系 |
| $1 + \cot^2\theta = \csc^2\theta$ | 与余切和正割的关系 |
三、诱导公式（角度变换）
| 角度变换 | 公式示例 |
| $\sin(-\theta) = -\sin\theta$ | 负角公式 |
| $\cos(-\theta) = \cos\theta$ | 负角公式 |
| $\sin(\pi - \theta) = \sin\theta$ | 补角公式 |
| $\cos(\pi - \theta) = -\cos\theta$ | 补角公式 |
| $\sin(\pi + \theta) = -\sin\theta$ | 周期性变换 |
| $\cos(\pi + \theta) = -\cos\theta$ | 周期性变换 |
四、和差角公式
| 公式 | 说明 |
| $\sin(A \pm B) = \sin A \cos B \pm \cos A \sin B$ | 正弦和差公式 |
| $\cos(A \pm B) = \cos A \cos B \mp \sin A \sin B$ | 余弦和差公式 |
| $\tan(A \pm B) = \frac{\tan A \pm \tan B}{1 \mp \tan A \tan B}$ | 正切和差公式 |
五、倍角公式
| 公式 | 说明 |
| $\sin(2\theta) = 2\sin\theta \cos\theta$ | 两倍角公式 |
| $\cos(2\theta) = \cos^2\theta - \sin^2\theta = 2\cos^2\theta - 1 = 1 - 2\sin^2\theta$ | 两倍角公式 |
| $\tan(2\theta) = \frac{2\tan\theta}{1 - \tan^2\theta}$ | 两倍角公式 |
六、半角公式
| 公式 | 说明 |
| $\sin\left(\frac{\theta}{2}\right) = \pm \sqrt{\frac{1 - \cos\theta}{2}}$ | 半角公式 |
| $\cos\left(\frac{\theta}{2}\right) = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos\theta}{2}}$ | 半角公式 |
| $\tan\left(\frac{\theta}{2}\right) = \frac{\sin\theta}{1 + \cos\theta} = \frac{1 - \cos\theta}{\sin\theta}$ | 半角公式 |
七、积化和差公式
| 公式 | 说明 |
| $\sin A \cos B = \frac{1}{2}[\sin(A + B) + \sin(A - B)]$ | 积化和差 |
| $\cos A \cos B = \frac{1}{2}[\cos(A + B) + \cos(A - B)]$ | 积化和差 |
| $\sin A \sin B = \frac{1}{2}[\cos(A - B) - \cos(A + B)]$ | 积化和差 |
八、和差化积公式
| 公式 | 说明 |
| $\sin A + \sin B = 2\sin\left(\frac{A + B}{2}\right)\cos\left(\frac{A - B}{2}\right)$ | 和差化积 |
| $\sin A - \sin B = 2\cos\left(\frac{A + B}{2}\right)\sin\left(\frac{A - B}{2}\right)$ | 和差化积 |
| $\cos A + \cos B = 2\cos\left(\frac{A + B}{2}\right)\cos\left(\frac{A - B}{2}\right)$ | 和差化积 |
| $\cos A - \cos B = -2\sin\left(\frac{A + B}{2}\right)\sin\left(\frac{A - B}{2}\right)$ | 和差化积 |
九、其他常用公式
| 公式 | 说明 |
| $\sin^3\theta = \frac{3\sin\theta - \sin(3\theta)}{4}$ | 三次方公式 |
| $\cos^3\theta = \frac{3\cos\theta + \cos(3\theta)}{4}$ | 三次方公式 |
| $\tan^3\theta = \frac{3\tan\theta - \tan^3\theta}{1 - 3\tan^2\theta}$ | 三次方公式 |
总结
以上内容涵盖了三角变换的主要公式，包括基本定义、同角关系、诱导公式、和差角、倍角、半角、积化和差、和差化积等。这些公式在解题、推导和实际应用中都具有重要作用。建议结合练习题加深理解，灵活运用各类公式解决实际问题。
