【几何平均值公式是什么】在数学中，几何平均值是一种用于计算一组数的平均值的方法，尤其适用于数值之间存在乘积关系或比例关系的情况。与算术平均值不同，几何平均值更适用于描述增长率、比率变化等场景。下面将对几何平均值的基本概念和公式进行总结，并通过表格形式清晰展示。
一、几何平均值的定义
几何平均值（Geometric Mean）是指将一组正数相乘后，再开n次方（n为这组数的个数）所得到的结果。它主要用于处理具有指数增长或比例关系的数据集，如投资回报率、人口增长率等。
二、几何平均值的公式
设有一组正数：$ a_1, a_2, a_3, \ldots, a_n $，则其几何平均值 $ G $ 的计算公式为：
$$
G = \sqrt[n]{a_1 \times a_2 \times a_3 \times \cdots \times a_n}
$$
或者写成指数形式：
$$
G = (a_1 \cdot a_2 \cdot a_3 \cdots a_n)^{\frac{1}{n}}
$$
三、几何平均值的特点
| 特点 | 说明 |
| 适用范围 | 适用于所有正数，尤其是涉及乘积或比率的数据 |
| 对极端值敏感 | 相比算术平均值，几何平均值对极大值和极小值不那么敏感 |
| 不能有零或负数 | 如果数据中有0或负数，几何平均值无法计算 |
| 常用于增长率 | 如年化收益率、经济增长率等 |
四、示例计算
假设某公司三年的利润增长率分别为：1.2（20%）、1.5（50%）、1.1（10%），求这三年的平均增长率。
使用几何平均值公式：
$$
G = \sqrt[3]{1.2 \times 1.5 \times 1.1} = \sqrt[3]{1.98} \approx 1.256
$$
即平均增长率为约 25.6%。
五、几何平均值 vs 算术平均值
| 指标 | 几何平均值 | 算术平均值 |
| 公式 | $ \sqrt[n]{\prod_{i=1}^{n} a_i} $ | $ \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} a_i $ |
| 适用场景 | 比率、增长率 | 平均数量、温度等 |
| 对异常值影响 | 较小 | 较大 |
| 数据要求 | 所有数据必须为正数 | 可以有负数或零 |
六、总结
几何平均值是统计学和金融分析中常用的一种平均方式，特别适合处理具有乘法关系的数据。它能够更真实地反映数据的增长趋势，避免了算术平均值在处理比例或增长率时可能产生的偏差。在实际应用中，应根据数据类型选择合适的平均方法，以确保结果的准确性和合理性。
