【arctan求导公式】在微积分中，反三角函数的求导是一个重要内容，其中 arctan（反正切函数） 的导数公式是基础且常用的。掌握其导数公式不仅有助于解题，还能加深对函数性质的理解。
一、arctan 求导公式总结
arctan(x) 的导数公式为：
$$
\frac{d}{dx} \arctan(x) = \frac{1}{1 + x^2}
$$
这个公式适用于所有实数 $x$，并且在数学、物理、工程等领域都有广泛应用。
二、常见 arctan 函数的导数公式表
| 函数表达式 | 导数表达式 |
| $\arctan(x)$ | $\frac{1}{1 + x^2}$ |
| $\arctan(ax)$ | $\frac{a}{1 + (ax)^2}$ |
| $\arctan(u(x))$ | $\frac{u'(x)}{1 + [u(x)]^2}$ |
| $\arctan(f(x))$ | $\frac{f'(x)}{1 + [f(x)]^2}$ |
> 注：当函数内部为复合函数时，需使用链式法则进行求导。
三、推导思路简述（可选）
设 $y = \arctan(x)$，则根据定义有：
$$
\tan(y) = x
$$
两边对 $x$ 求导：
$$
\sec^2(y) \cdot \frac{dy}{dx} = 1
$$
又因为 $\sec^2(y) = 1 + \tan^2(y) = 1 + x^2$，所以：
$$
\frac{dy}{dx} = \frac{1}{1 + x^2}
$$
四、应用示例
例1：求 $\arctan(2x)$ 的导数。
解：
$$
\frac{d}{dx} \arctan(2x) = \frac{2}{1 + (2x)^2} = \frac{2}{1 + 4x^2}
$$
例2：求 $\arctan(\sin x)$ 的导数。
解：
$$
\frac{d}{dx} \arctan(\sin x) = \frac{\cos x}{1 + (\sin x)^2}
$$
五、注意事项
- arctan 的导数始终为正，说明其在定义域内单调递增。
- 在实际计算中，注意区分 $\arctan(x)$ 和 $\tan^{-1}(x)$ 是同一个函数的不同写法。
- 若遇到复杂表达式，应先简化再求导，避免出错。
通过以上内容，我们可以清晰地了解 arctan 函数的导数公式及其应用场景。掌握这些知识，能够帮助我们在学习和研究中更加灵活地运用反三角函数的相关知识。
