【利用（ldquo及拆项法及rdquo及计算行列式的方法及典型例题）】在行列式的计算中，除了常见的展开法、化简法、行列式性质等方法外，“拆项法”也是一种非常实用的技巧。该方法适用于某些特定结构的行列式，尤其是当某一行或某一列的元素可以拆分为两个部分时，可以通过将行列式拆分成多个行列式的和来简化计算。

一、拆项法的基本原理

定义：

若某一行（或列）的元素可表示为两个数的和，即：

$$

a_{i1} = b_{i1} + c_{i1},\quad a_{i2} = b_{i2} + c_{i2},\quad \dots,\quad a_{in} = b_{in} + c_{in}

$$

则对应的行列式可拆分为两个行列式的和：

$$

D = D_1 + D_2

$$

其中：

- $ D_1 $ 是将原行列式中第 $ i $ 行替换为 $ (b_{i1}, b_{i2}, \dots, b_{in}) $ 后的行列式；

- $ D_2 $ 是将原行列式中第 $ i $ 行替换为 $ (c_{i1}, c_{i2}, \dots, c_{in}) $ 后的行列式。

此方法同样适用于列的拆分。

二、拆项法的应用步骤

三、典型例题解析

例题1：

计算行列式：

$$

D =

\begin{vmatrix}

1 & 2 & 3 \\

4 & 5 & 6 \\

7 & 8 & 9 \\

\end{vmatrix}

$$

分析：

观察第二行：$ 4 = 2 + 2 $, $ 5 = 3 + 2 $, $ 6 = 4 + 2 $，可以尝试将第二行拆分为两个部分。

拆项后：

$$

D =

\begin{vmatrix}

1 & 2 & 3 \\

2 & 3 & 4 \\

7 & 8 & 9 \\

\end{vmatrix}

+

\begin{vmatrix}

1 & 2 & 3 \\

2 & 2 & 2 \\

7 & 8 & 9 \\

\end{vmatrix}

$$

计算第一部分：

$$

D_1 =

\begin{vmatrix}

1 & 2 & 3 \\

2 & 3 & 4 \\

7 & 8 & 9 \\

\end{vmatrix}

= 0 \quad (\text{因为第三行是前两行的和})

$$

计算第二部分：

$$

D_2 =

\begin{vmatrix}

1 & 2 & 3 \\

2 & 2 & 2 \\

7 & 8 & 9 \\

\end{vmatrix}

= 1 \cdot (2 \cdot 9 - 2 \cdot 8) - 2 \cdot (2 \cdot 9 - 2 \cdot 7) + 3 \cdot (2 \cdot 8 - 2 \cdot 7)

= 1 \cdot 2 - 2 \cdot 4 + 3 \cdot 2 = 2 - 8 + 6 = 0

$$

最终结果：

$$

D = D_1 + D_2 = 0 + 0 = 0

$$

例题2：

计算行列式：

$$

D =

\begin{vmatrix}

1 & 1 & 1 \\

x & x^2 & x^3 \\

y & y^2 & y^3 \\

\end{vmatrix}

$$

分析：

第三列中的每个元素都可以看作是 $ x $ 或 $ y $ 的幂次，但也可以尝试将某一行进行拆分。例如，考虑将第一行拆成两个部分，比如 $ 1 = 1 + 0 $，但这对计算帮助不大。

换一种思路：

使用行列式的线性性质，将每一列视为一个变量的函数，利用拉普拉斯展开或直接计算。

计算：

$$

D = 1 \cdot (x^2 \cdot y^3 - x^3 \cdot y^2) - 1 \cdot (x \cdot y^3 - x^3 \cdot y) + 1 \cdot (x \cdot y^2 - x^2 \cdot y)

$$

$$

= x^2 y^3 - x^3 y^2 - x y^3 + x^3 y + x y^2 - x^2 y

$$

整理后：

$$

D = x^2 y^3 - x^3 y^2 - x y^3 + x^3 y + x y^2 - x^2 y

$$

进一步提取公因式：

$$

D = x y (x y^2 - x^2 y - y^2 + x^2 + y - x)

$$

虽然形式复杂，但通过拆项法可以帮助我们更清晰地理解行列式的结构。

四、总结表格

通过“拆项法”，我们可以更灵活地处理一些复杂的行列式问题，提高解题效率。在实际应用中，建议结合其他方法（如展开法、行列式性质等）共同使用，以达到最佳效果。