【概率论数理统计置信区间的一个题求解】在概率论与数理统计的学习中，置信区间是一个重要的概念，用于估计总体参数的可能范围。本文将以一道典型的置信区间题目为例，详细讲解其求解过程，并以加表格的形式展示答案。
一、题目描述
设某工厂生产的一种零件的长度服从正态分布 $ N(\mu, \sigma^2) $，从该批产品中随机抽取了 16 个样本，测得样本均值为 $ \bar{x} = 20.5 $，样本标准差为 $ s = 1.2 $。试求总体均值 $ \mu $ 的 95% 置信区间。
二、解题思路
1. 确定总体分布：由于题目中说明数据服从正态分布，因此可以使用 t 分布进行置信区间的构造。
2. 确定置信水平：本题要求的是 95% 的置信区间，对应的显著性水平为 $ \alpha = 0.05 $。
3. 计算自由度：样本容量 $ n = 16 $，自由度为 $ df = n - 1 = 15 $。
4. 查找 t 分布临界值：查 t 分布表或使用计算器，得到 $ t_{\alpha/2, df} = t_{0.025, 15} \approx 2.131 $。
5. 计算标准误差：$ SE = \frac{s}{\sqrt{n}} = \frac{1.2}{\sqrt{16}} = 0.3 $
6. 计算置信区间：
下限：$ \bar{x} - t_{\alpha/2, df} \cdot SE = 20.5 - 2.131 \times 0.3 \approx 19.86 $
上限：$ \bar{x} + t_{\alpha/2, df} \cdot SE = 20.5 + 2.131 \times 0.3 \approx 21.14 $
三、结果总结
| 参数 | 值 |
| 样本均值 $ \bar{x} $ | 20.5 |
| 样本标准差 $ s $ | 1.2 |
| 样本容量 $ n $ | 16 |
| 自由度 $ df $ | 15 |
| 显著性水平 $ \alpha $ | 0.05 |
| t 分布临界值 $ t_{0.025,15} $ | 2.131 |
| 标准误差 $ SE $ | 0.3 |
| 置信下限 | 19.86 |
| 置信上限 | 21.14 |
四、结论
根据上述计算，我们可以以 95% 的置信度认为，该批零件的平均长度落在区间 [19.86, 21.14] 内。这为工厂的质量控制提供了统计依据，同时也体现了置信区间在实际问题中的应用价值。
