【几何布朗运动】几何布朗运动（Geometric Brownian Motion，简称GBM）是金融数学中一个非常重要的随机过程，广泛用于描述股票价格、汇率等金融资产的动态变化。它在期权定价模型（如Black-Scholes模型）中扮演着核心角色。
一、概述
几何布朗运动是一种连续时间随机过程，其特点是变量的变化率与当前值成正比，并且受到随机扰动的影响。该过程由以下微分方程定义：
$$
dS_t = \mu S_t dt + \sigma S_t dW_t
$$
其中：
- $ S_t $ 是时间 $ t $ 时的资产价格；
- $ \mu $ 是漂移系数（预期收益率）；
- $ \sigma $ 是波动率（衡量不确定性）；
- $ W_t $ 是标准布朗运动（Wiener过程）。
二、关键特性总结
| 特性 | 描述 |
| 连续性 | 路径是连续的，但不可导 |
| 马尔可夫性 | 未来状态仅依赖于当前状态，与历史无关 |
| 独立增量 | 不同时刻的增量相互独立 |
| 对数正态分布 | 在任意时间点 $ t $，$ \ln(S_t) $ 服从正态分布 |
| 无记忆性 | 未来走势不受过去路径影响 |
三、应用领域
| 领域 | 应用说明 |
| 金融工程 | 用于股票价格建模、衍生品定价（如期权） |
| 风险管理 | 评估资产价格波动对投资组合的影响 |
| 经济学 | 模拟经济增长或通货膨胀的随机过程 |
| 生物学 | 模拟种群数量的随机增长 |
四、模拟方法
几何布朗运动可以通过离散化的方法进行数值模拟，常用的方法包括欧拉-马鲁耶夫方法（Euler-Maruyev method），其离散形式为：
$$
S_{t+\Delta t} = S_t \cdot e^{(\mu - \frac{1}{2}\sigma^2)\Delta t + \sigma \sqrt{\Delta t} \cdot Z}
$$
其中 $ Z \sim N(0,1) $ 是标准正态分布的随机变量。
五、优缺点分析
| 优点 | 缺点 |
| 简单易用，便于解析求解 | 忽略了市场中的跳跃和非连续变化 |
| 可以用于期权定价 | 假设波动率恒定，与现实不符 |
| 数值模拟方便 | 无法捕捉极端事件（如黑天鹅） |
六、总结
几何布朗运动作为金融建模的基础工具，具有理论上的简洁性和实际应用的广泛性。尽管它存在一定的局限性，但在许多情况下仍然是描述资产价格演变的有效模型。随着金融市场复杂性的增加，研究者也在不断探索更精确的随机过程模型，如跳扩散模型、随机波动率模型等，以弥补GBM的不足。
