【高等数学公式】在学习高等数学的过程中，掌握各类基本公式是理解与应用数学知识的关键。本文将对常见的高等数学公式进行总结，并以表格形式呈现，帮助读者更清晰地记忆和使用这些公式。
一、微分学公式
| 公式名称 | 公式表达 | 说明 |
| 导数定义 | $ f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h} $ | 函数在某点的瞬时变化率 |
| 基本导数 | $ (x^n)' = nx^{n-1} $ | 幂函数的导数 |
| 指数函数导数 | $ (e^x)' = e^x $ | 自然指数函数的导数 |
| 对数函数导数 | $ (\ln x)' = \frac{1}{x} $ | 自然对数函数的导数 |
| 三角函数导数 | $ (\sin x)' = \cos x $, $ (\cos x)' = -\sin x $ | 常见三角函数的导数 |
| 链式法则 | $ \frac{d}{dx} [f(g(x))] = f'(g(x)) \cdot g'(x) $ | 复合函数的导数计算方法 |
二、积分学公式
| 公式名称 | 公式表达 | 说明 | ||
| 不定积分基本公式 | $ \int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C $（$ n \neq -1 $） | 幂函数的不定积分 | ||
| 指数函数积分 | $ \int e^x dx = e^x + C $ | 自然指数函数的积分 | ||
| 对数函数积分 | $ \int \frac{1}{x} dx = \ln | x | + C $ | 常见对数函数的积分 |
| 三角函数积分 | $ \int \sin x dx = -\cos x + C $, $ \int \cos x dx = \sin x + C $ | 常见三角函数的积分 | ||
| 分部积分法 | $ \int u dv = uv - \int v du $ | 积分中常用的方法之一 |
三、微分方程基础公式
| 公式名称 | 公式表达 | 说明 |
| 一阶线性微分方程 | $ y' + P(x)y = Q(x) $ | 可用积分因子法求解 |
| 可分离变量方程 | $ \frac{dy}{dx} = f(x)g(y) $ | 可通过分离变量后积分求解 |
| 齐次方程 | $ \frac{dy}{dx} = F\left(\frac{y}{x}\right) $ | 可通过变量替换化为可分离方程 |
| 二阶常系数齐次方程 | $ ay'' + by' + cy = 0 $ | 特征方程为 $ ar^2 + br + c = 0 $ |
四、级数与泰勒展开
| 公式名称 | 公式表达 | 说明 | ||
| 等比数列求和 | $ S_n = a_1 \frac{1 - r^n}{1 - r} $ | 当 $ | r | < 1 $ 时，无穷级数和为 $ \frac{a_1}{1 - r} $ |
| 泰勒展开式 | $ f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n $ | 在某点附近的多项式近似 | ||
| 麦克劳林展开式 | $ f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n $ | 泰勒展开在 $ x=0 $ 处的形式 | ||
| 常见函数展开 | $ e^x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!} $, $ \sin x = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} $ | 常见函数的泰勒展开形式 |
五、向量与多元函数
| 公式名称 | 公式表达 | 说明 | ||||
| 向量点积 | $ \vec{a} \cdot \vec{b} = | \vec{a} | \vec{b} | \cos\theta $ | 两个向量之间的夹角余弦关系 | |
| 向量叉积 | $ \vec{a} \times \vec{b} = | \vec{a} | \vec{b} | \sin\theta \cdot \hat{n} $ | 两个向量的垂直方向向量 | |
| 偏导数 | $ \frac{\partial f}{\partial x} $ | 多元函数对某一变量的导数 | ||||
| 梯度 | $ \nabla f = \left( \frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y}, \frac{\partial f}{\partial z} \right) $ | 多元函数的方向导数最大值方向 |
结语
高等数学作为理工科的重要基础课程，其核心内容围绕微分、积分、级数、向量等展开。掌握这些基本公式不仅有助于考试应对，更能提升实际问题的分析与解决能力。建议在学习过程中结合例题练习，逐步加深对公式的理解和应用。
