【计算一个简单的二重极限】在数学分析中，二重极限是一个重要的概念，用于研究函数在二维平面上某一点附近的行为。本文将通过一个具体的例子，展示如何计算一个简单的二重极限，并总结其关键步骤和注意事项。

一、问题陈述

考虑函数：

$$

f(x, y) = \frac{x^2 + y^2}{x + y}

$$

求当 $(x, y) \to (0, 0)$ 时的二重极限。

二、解题思路

1. 观察函数形式：

函数 $ f(x, y) $ 是一个有理函数，分子为 $ x^2 + y^2 $，分母为 $ x + y $。当 $ x + y \to 0 $ 时，分母趋于零，因此需要特别注意极限是否存在。

2. 尝试直接代入：

当 $ x = 0 $, $ y = 0 $ 时，分母为零，说明函数在该点无定义，需进一步分析极限。

3. 路径法：

选择不同的路径趋近于原点，观察极限是否一致。若不同路径得到的结果不一致，则极限不存在。

4. 极坐标转换（可选）：

将直角坐标系转换为极坐标，简化表达式，便于分析极限。

三、具体计算过程

方法一：路径法

- 路径1：沿 $ y = 0 $ 趋近于 (0, 0)

则 $ f(x, 0) = \frac{x^2}{x} = x $，当 $ x \to 0 $ 时，极限为 0。

- 路径2：沿 $ x = 0 $ 趋近于 (0, 0)

则 $ f(0, y) = \frac{y^2}{y} = y $，当 $ y \to 0 $ 时，极限也为 0。

- 路径3：沿 $ y = x $ 趋近于 (0, 0)

则 $ f(x, x) = \frac{x^2 + x^2}{x + x} = \frac{2x^2}{2x} = x $，当 $ x \to 0 $ 时，极限为 0。

- 路径4：沿 $ y = kx $（任意常数k）

则 $ f(x, kx) = \frac{x^2 + k^2x^2}{x + kx} = \frac{(1 + k^2)x^2}{(1 + k)x} = \frac{(1 + k^2)}{1 + k} x $，当 $ x \to 0 $ 时，极限仍为 0。

从以上路径来看，所有路径都得到相同的极限值 0，初步判断极限可能存在。

方法二：极坐标法

令 $ x = r\cos\theta $, $ y = r\sin\theta $，则：

$$

f(r, \theta) = \frac{r^2(\cos^2\theta + \sin^2\theta)}{r(\cos\theta + \sin\theta)} = \frac{r^2}{r(\cos\theta + \sin\theta)} = \frac{r}{\cos\theta + \sin\theta}

$$

当 $ r \to 0 $ 时，只要 $ \cos\theta + \sin\theta \neq 0 $，极限为 0。但如果 $ \cos\theta + \sin\theta = 0 $，即 $ \theta = \frac{3\pi}{4} $ 或 $ \frac{7\pi}{4} $，此时分母为零，函数无定义。

但需要注意的是，在这些方向上，$ (x, y) $ 并不会真正趋近于原点，因为函数在这些方向上是未定义的。

综上，对于大多数路径，极限存在且为 0。

四、结论与总结

五、注意事项

- 二重极限的存在性要求所有路径趋近于该点时，函数值趋于同一极限。

- 若沿不同路径得到不同结果，则极限不存在。

- 极坐标法有助于统一处理多个方向的趋近情况，但需注意特殊方向可能导致分母为零的情况。

通过上述分析，我们得出该函数在原点处的二重极限为 0。这一过程展示了如何系统地分析和验证二重极限的存在性。