【三角形余弦定理公式及证明】在三角形的几何学习中，余弦定理是一个非常重要的工具，用于解决已知两边及其夹角或三边长度时求解未知角度或边长的问题。它不仅适用于直角三角形，也适用于任意三角形，是正弦定理的重要补充。
一、余弦定理公式
对于任意三角形 $ \triangle ABC $，设其三边分别为 $ a $、$ b $、$ c $，分别对应角 $ A $、$ B $、$ C $，则余弦定理的公式如下：
$$
\begin{aligned}
a^2 &= b^2 + c^2 - 2bc \cos A \\
b^2 &= a^2 + c^2 - 2ac \cos B \\
c^2 &= a^2 + b^2 - 2ab \cos C \\
\end{aligned}
$$
其中，$ a $、$ b $、$ c $ 分别为角 $ A $、$ B $、$ C $ 的对边。
二、余弦定理的证明
余弦定理可以通过向量法或坐标法进行证明。以下是使用坐标法的简要证明过程：
1. 将三角形 $ \triangle ABC $ 放置在平面直角坐标系中，设点 $ A $ 在原点 $ (0, 0) $，点 $ B $ 在 $ x $ 轴上，坐标为 $ (c, 0) $，点 $ C $ 坐标为 $ (b \cos A, b \sin A) $。
2. 根据距离公式计算边 $ a $（即 $ BC $）的长度：
$$
a^2 = (b \cos A - c)^2 + (b \sin A)^2
$$
3. 展开并化简：
$$
a^2 = b^2 \cos^2 A - 2bc \cos A + c^2 + b^2 \sin^2 A
$$
4. 利用恒等式 $ \cos^2 A + \sin^2 A = 1 $，得到：
$$
a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos A
$$
其他两个公式同理可得。
三、总结与应用
| 项目 | 内容 |
| 定理名称 | 余弦定理 |
| 适用范围 | 任意三角形 |
| 公式形式 | $ a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos A $ 等 |
| 用途 | 求解三角形中的边长或角度 |
| 与正弦定理关系 | 互补关系，可用于不同条件下的问题求解 |
| 证明方法 | 向量法、坐标法、几何法等 |
四、实际应用举例
- 已知三角形两边及其夹角，可用余弦定理求第三边；
- 已知三边长度，可用余弦定理求出各角的大小；
- 在工程、物理、导航等领域有广泛应用。
通过掌握余弦定理及其证明，可以更深入地理解三角形的性质，并灵活应用于各种实际问题中。
