【对勾函数是什么样的怎么求最值】对勾函数是一种常见的数学函数，因其图像形状类似“对勾”而得名。它在高中数学中较为常见，尤其在函数的单调性、极值点分析中具有重要应用。本文将从对勾函数的定义、图像特征以及如何求其最值三个方面进行总结，并通过表格形式直观展示。
一、对勾函数的定义
对勾函数一般指的是形如：
$$
f(x) = ax + \frac{b}{x}
$$
其中 $ a > 0 $，$ b > 0 $，且 $ x \neq 0 $ 的函数。这种函数的图像是由两部分组成的，分别位于第一象限和第三象限，呈现出“对勾”状的曲线。
二、对勾函数的图像特征
| 特征 | 描述 |
| 定义域 | $ x \in (-\infty, 0) \cup (0, +\infty) $ |
| 奇偶性 | 奇函数（若 $ a $ 和 $ b $ 都为正） |
| 渐近线 | $ y $ 轴为垂直渐近线；当 $ x \to \pm\infty $ 时，函数趋向于直线 $ y = ax $ |
| 单调性 | 在 $ x > 0 $ 区间内，先减后增；在 $ x < 0 $ 区间内，先增后减 |
| 极值点 | 当 $ x = \sqrt{\frac{b}{a}} $ 时取得最小值；当 $ x = -\sqrt{\frac{b}{a}} $ 时取得最大值 |
三、如何求对勾函数的最值
方法一：利用导数法
1. 求导：
$$
f'(x) = a - \frac{b}{x^2}
$$
2. 令导数为零，解方程：
$$
a - \frac{b}{x^2} = 0 \Rightarrow x^2 = \frac{b}{a} \Rightarrow x = \pm\sqrt{\frac{b}{a}}
$$
3. 判断极值：
- 当 $ x = \sqrt{\frac{b}{a}} $ 时，函数取得最小值；
- 当 $ x = -\sqrt{\frac{b}{a}} $ 时，函数取得最大值。
4. 计算最值：
$$
f_{\text{min}} = a\sqrt{\frac{b}{a}} + \frac{b}{\sqrt{\frac{b}{a}}} = 2\sqrt{ab}
$$
$$
f_{\text{max}} = -2\sqrt{ab}
$$
方法二：利用均值不等式（适用于 $ x > 0 $）
对于 $ x > 0 $，根据基本不等式：
$$
ax + \frac{b}{x} \geq 2\sqrt{a \cdot \frac{b}{x} \cdot x} = 2\sqrt{ab}
$$
当且仅当 $ ax = \frac{b}{x} $，即 $ x = \sqrt{\frac{b}{a}} $ 时取等号，此时取得最小值。
四、总结表格
| 内容 | 说明 |
| 函数形式 | $ f(x) = ax + \frac{b}{x} $ |
| 定义域 | $ x \neq 0 $ |
| 图像特征 | 对称于原点，呈“对勾”状 |
| 最小值 | 当 $ x = \sqrt{\frac{b}{a}} $ 时，$ f(x) = 2\sqrt{ab} $ |
| 最大值 | 当 $ x = -\sqrt{\frac{b}{a}} $ 时，$ f(x) = -2\sqrt{ab} $ |
| 求最值方法 | 导数法或均值不等式 |
通过对勾函数的深入理解，可以帮助我们更好地掌握函数的性质与应用。无论是考试还是实际问题中，掌握其最值求法都具有重要意义。
