在数学中，三角函数的恒等变换是非常重要的工具，它可以帮助我们简化复杂的三角表达式，并解决各种实际问题。以下是三角恒等变换中的七组基本公式：
1. 基本恒等式
- 平方关系：
\[
\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1
\]
\[
\tan^2\theta + 1 = \sec^2\theta
\]
\[
\cot^2\theta + 1 = \csc^2\theta
\]
2. 和差角公式
- 正弦和差角公式：
\[
\sin(\alpha \pm \beta) = \sin\alpha\cos\beta \pm \cos\alpha\sin\beta
\]
- 余弦和差角公式：
\[
\cos(\alpha \pm \beta) = \cos\alpha\cos\beta \mp \sin\alpha\sin\beta
\]
- 正切和差角公式：
\[
\tan(\alpha \pm \beta) = \frac{\tan\alpha \pm \tan\beta}{1 \mp \tan\alpha\tan\beta}
\]
3. 二倍角公式
- 正弦二倍角公式：
\[
\sin(2\theta) = 2\sin\theta\cos\theta
\]
- 余弦二倍角公式：
\[
\cos(2\theta) = \cos^2\theta - \sin^2\theta = 2\cos^2\theta - 1 = 1 - 2\sin^2\theta
\]
- 正切二倍角公式：
\[
\tan(2\theta) = \frac{2\tan\theta}{1 - \tan^2\theta}
\]
4. 半角公式
- 正弦半角公式：
\[
\sin\left(\frac{\theta}{2}\right) = \pm\sqrt{\frac{1 - \cos\theta}{2}}
\]
- 余弦半角公式：
\[
\cos\left(\frac{\theta}{2}\right) = \pm\sqrt{\frac{1 + \cos\theta}{2}}
\]
- 正切半角公式：
\[
\tan\left(\frac{\theta}{2}\right) = \pm\sqrt{\frac{1 - \cos\theta}{1 + \cos\theta}} = \frac{\sin\theta}{1 + \cos\theta} = \frac{1 - \cos\theta}{\sin\theta}
\]
5. 积化和差公式
- 积化和差公式：
\[
\sin A \cos B = \frac{1}{2}[\sin(A + B) + \sin(A - B)]
\]
\[
\cos A \sin B = \frac{1}{2}[\sin(A + B) - \sin(A - B)]
\]
\[
\cos A \cos B = \frac{1}{2}[\cos(A + B) + \cos(A - B)]
\]
\[
\sin A \sin B = \frac{1}{2}[\cos(A - B) - \cos(A + B)]
\]
6. 和差化积公式
- 和差化积公式：
\[
\sin A + \sin B = 2\sin\left(\frac{A + B}{2}\right)\cos\left(\frac{A - B}{2}\right)
\]
\[
\sin A - \sin B = 2\cos\left(\frac{A + B}{2}\right)\sin\left(\frac{A - B}{2}\right)
\]
\[
\cos A + \cos B = 2\cos\left(\frac{A + B}{2}\right)\cos\left(\frac{A - B}{2}\right)
\]
\[
\cos A - \cos B = -2\sin\left(\frac{A + B}{2}\right)\sin\left(\frac{A - B}{2}\right)
\]
7. 万能公式
- 万能公式：
\[
\sin\theta = \frac{2\tan\left(\frac{\theta}{2}\right)}{1 + \tan^2\left(\frac{\theta}{2}\right)}
\]
\[
\cos\theta = \frac{1 - \tan^2\left(\frac{\theta}{2}\right)}{1 + \tan^2\left(\frac{\theta}{2}\right)}
\]
\[
\tan\theta = \frac{2\tan\left(\frac{\theta}{2}\right)}{1 - \tan^2\left(\frac{\theta}{2}\right)}
\]
这些公式是解决三角函数问题的基础，熟练掌握它们能够帮助我们在处理复杂问题时更加得心应手。通过不断的练习和应用，我们可以更好地理解和运用这些公式，从而提高解题效率。
