【分式不等式的解法】分式不等式是含有分式的不等式，通常形式为 $\frac{f(x)}{g(x)} > 0$ 或 $\frac{f(x)}{g(x)} < 0$，其中 $f(x)$ 和 $g(x)$ 是整式。解决这类问题的关键在于确定分母不为零，并结合分子与分母的符号变化来分析不等式的成立范围。
一、分式不等式的解法步骤
1. 确定分母不为零：首先找出使分母为零的值，这些值不能出现在解集中。
2. 将不等式转化为整式不等式：通过移项或通分，将分式不等式转化为整式不等式。
3. 求出关键点：找出分子和分母的零点，即 $f(x) = 0$ 和 $g(x) = 0$ 的解。
4. 画数轴，标出关键点：在数轴上标出所有关键点，将实数轴分成若干区间。
5. 逐个区间判断符号：在每个区间内选择一个测试点，代入原不等式判断符号是否符合要求。
6. 写出最终解集：根据符号变化情况，确定满足不等式的区间。
二、常见类型及解法对比
| 类型 | 不等式形式 | 解法步骤 | 注意事项 |
| 分式大于0 | $\frac{f(x)}{g(x)} > 0$ | 1. 求 $g(x) \neq 0$ 2. 找 $f(x)=0$ 和 $g(x)=0$ 的根 3. 数轴标根，判断符号 | 分母不能为0，结果不包括分母为0的点 |
| 分式小于0 | $\frac{f(x)}{g(x)} < 0$ | 同上，但判断符号为负 | 同上 |
| 分式大于等于0 | $\frac{f(x)}{g(x)} \geq 0$ | 包括分子为0的情况 | 分母仍不能为0 |
| 分式小于等于0 | $\frac{f(x)}{g(x)} \leq 0$ | 包括分子为0的情况 | 分母仍不能为0 |
三、示例解析
例1：解不等式 $\frac{x - 1}{x + 2} > 0$
- 分母 $x + 2 \neq 0$ → $x \neq -2$
- 分子 $x - 1 = 0$ → $x = 1$
- 关键点：$x = -2$、$x = 1$
- 数轴划分区间：$(-\infty, -2)$、$(-2, 1)$、$(1, +\infty)$
- 测试点：
- 取 $x = -3$，$\frac{-4}{-1} = 4 > 0$ → 符合
- 取 $x = 0$，$\frac{-1}{2} = -0.5 < 0$ → 不符合
- 取 $x = 2$，$\frac{1}{4} > 0$ → 符合
- 最终解集：$(-\infty, -2) \cup (1, +\infty)$
四、总结
分式不等式的解法主要依赖于对分子和分母的符号分析，以及对关键点的准确识别。通过数轴法可以直观地判断各个区间的符号变化，从而得出不等式的解集。需要注意的是，分母不能为零，且在包含等号时要特别注意分子为零的情况。
如需进一步练习，可尝试以下题目：
1. $\frac{2x + 1}{x - 3} \leq 0$
2. $\frac{x^2 - 4}{x + 1} > 0$
3. $\frac{3 - x}{x^2 - 9} \geq 0$
通过反复练习，可以更加熟练地掌握分式不等式的解法技巧。
