【直线与圆相交的弦长公式】在解析几何中，直线与圆的位置关系是常见的问题之一。当一条直线与一个圆相交时，会在圆上形成一条弦。计算这条弦的长度对于解决几何问题具有重要意义。本文将对直线与圆相交的弦长公式进行总结，并以表格形式展示相关公式及其应用场景。

一、直线与圆相交的基本概念

设圆的方程为：

$$ (x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2 $$

其中，$(a, b)$ 是圆心坐标，$r$ 是圆的半径。

设直线的方程为：

$$ Ax + By + C = 0 $$

若该直线与圆相交，则它们有两个交点，这两个交点之间的线段即为弦。

二、弦长公式的推导与应用

1. 弦长公式（基于圆心到直线的距离）

若已知圆心 $(a, b)$ 到直线 $Ax + By + C = 0$ 的距离为 $d$，则弦长 $L$ 可由以下公式计算：

$$

L = 2\sqrt{r^2 - d^2}

$$

其中：

- $r$ 是圆的半径；

- $d$ 是圆心到直线的距离，计算公式为：

$$

d = \frac{Aa + Bb + C}{\sqrt{A^2 + B^2}}

$$

2. 弦长公式（基于直线与圆的交点）

若已知直线与圆的两个交点分别为 $P_1(x_1, y_1)$ 和 $P_2(x_2, y_2)$，则弦长 $L$ 可由两点间距离公式计算：

$$

L = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}

$$

三、常见情况与公式对比

四、实际应用举例

假设圆的方程为 $x^2 + y^2 = 9$（圆心在原点，半径 $r = 3$），直线方程为 $x + y = 1$。

1. 计算圆心到直线的距离：

$$

d = \frac{0 + 0 - 1}{\sqrt{1^2 + 1^2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}

$$

2. 计算弦长：

$$

L = 2\sqrt{3^2 - \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^2} = 2\sqrt{9 - \frac{1}{2}} = 2\sqrt{\frac{17}{2}} = \sqrt{34}

$$

五、总结

直线与圆相交的弦长公式是解析几何中的重要内容，适用于多种实际问题。根据不同的已知条件，可以选择合适的公式进行计算。掌握这些公式有助于提高解题效率，并加深对几何图形的理解。

表格总结：

通过以上内容，可以系统地理解并应用直线与圆相交的弦长公式。