在数学领域中，“阶乘”是一个非常基础且重要的概念，它主要用来表示一系列正整数的连续乘积。简单来说，阶乘是指从1开始直到某个给定正整数的所有整数相乘的结果。通常用符号“！”来表示。例如，5的阶乘写作5!，其值为5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120。
阶乘的定义可以正式表述如下：对于任意一个非负整数n，它的阶乘记作n!，并且满足以下递归关系式：
- 当n=0时，0! = 1（这是一个约定，也是数学中的基本规则）；
- 当n>0时，n! = n × (n-1)!
这个定义看起来简单，但实际上在组合数学、概率论以及计算机科学等领域有着广泛的应用。例如，在排列组合问题中，计算可能的不同排列方式时就经常需要用到阶乘；而在算法设计中，递归函数的设计也常常会借鉴阶乘的递归性质。
值得注意的是，并不是所有的数都有意义地定义阶乘。传统上，阶乘仅适用于非负整数。然而，随着数学的发展，人们通过扩展实数和复数域上的伽玛函数（Gamma Function），成功将阶乘的概念推广到了更广泛的范围，包括非整数值甚至是负数。不过这些扩展超出了本文讨论的范畴。
总之，阶乘作为数学中最简单的运算之一，却蕴含着丰富的内涵。无论是初学者还是专业人士，都能从中发现乐趣并找到解决问题的新思路。
