在数学的世界里，均值不等式是一个非常重要的概念，它揭示了不同形式的平均数之间的大小关系。这一公式在解决实际问题时具有广泛的应用价值。那么，均值不等式的具体表达是什么？它的核心公式又是哪四个呢？

首先，让我们来回顾一下均值不等式的定义。均值不等式指的是对于任意一组正实数，它们的算术平均数总是大于或等于几何平均数，而几何平均数又大于或等于调和平均数，最后调和平均数大于或等于平方平均数。这种递进的关系构成了均值不等式的核心。

接下来，我们具体来看这四个关键的均值公式：

1. 算术平均数：设有一组正实数 \(a_1, a_2, ..., a_n\)，则它们的算术平均数为 \(\frac{a_1 + a_2 + ... + a_n}{n}\)。这个公式表示的是这些数的总和除以数量的结果。

2. 几何平均数：同样的这组正实数，其几何平均数为 \(\sqrt[n]{a_1 \cdot a_2 \cdot ... \cdot a_n}\)。这意味着将所有数相乘后开 n 次方根。

3. 调和平均数：这组数的调和平均数为 \(\frac{n}{\frac{1}{a_1} + \frac{1}{a_2} + ... + \frac{1}{a_n}}\)。它实际上是所有数倒数的平均值的倒数。

4. 平方平均数：平方平均数则是 \(\sqrt{\frac{a_1^2 + a_2^2 + ... + a_n^2}{n}}\)，即先对每个数求平方，再取平均值后开平方。

根据均值不等式的性质，我们可以得出以下结论：

\[

\text{算术平均数} \geq \text{几何平均数} \geq \text{调和平均数} \geq \text{平方平均数}

\]

这个不等式不仅在理论上具有重要意义，在实际应用中也极为广泛。例如，在经济学中，它可以用来评估不同投资策略的风险与收益；在工程学中，则可以用于优化资源配置。

总之，均值不等式的四个核心公式为我们提供了一个理解数据分布规律的有效工具。通过掌握这些基本概念及其背后的逻辑，我们能够更好地应对各种复杂的情况，并做出更加科学合理的决策。