在数学分析中，函数极限是一个非常重要的概念，它帮助我们理解函数在特定点或无穷远处的行为。函数极限描述了当自变量接近某个值时，函数值的变化趋势。这个概念是微积分的基础之一，广泛应用于物理学、工程学和其他科学领域。

首先，我们需要了解极限的基本定义。假设有一个函数f(x)，当x趋近于某一点a（可以是有限值或无穷大）时，如果f(x)能够无限接近某个确定的值L，则称L为f(x)当x趋近于a时的极限。记作lim(x→a)f(x)=L。

计算极限的方法有很多，其中代入法是最直观的一种。如果直接将a代入函数表达式中得到的结果是有意义的数值，那么这个值就是该点处的极限。然而，并非所有情况下都能简单地使用代入法。例如，在分母可能趋于零的情况下，就需要采用其他方法来求解极限。

对于一些复杂的函数形式，可以尝试运用夹逼准则或者等价无穷小替换等技巧来简化问题。夹逼准则指出，若存在两个已知极限相等且它们分别从上方和下方包围目标函数，则目标函数的极限也等于这两个极限；而等价无穷小替换法则允许我们在某些条件下将复杂的表达式替换为其等价形式以方便运算。

除了上述基本理论外，还有一系列关于连续性与间断性的性质值得探讨。一个函数在其定义域内的每一点都存在极限并且该极限等于该点处的实际函数值时，我们就说这个函数是连续的。反之，则称为不连续。值得注意的是，即使函数在某一点上不存在极限，它仍然可能是连续的；同样地，即使函数在某一点上有极限，也可能不连续。

此外，还需要注意左右极限的概念。左极限指的是当自变量从左侧逐渐靠近给定点时所对应的函数值序列；右极限则相反。只有当左右极限均存在且相等时，才能保证整体极限的存在性。

总之，掌握好函数极限的相关知识对于深入学习高等数学至关重要。通过不断练习各种类型的题目并结合实际应用场景加深理解，相信每位同学都能够熟练运用这些工具解决实际问题！